兰道的典範之一:费米液体(二)

作者: 来源:M新生活 时间:2020-06-18 19:41:21 浏览(431)

在上文中我们提供了一些历史故事,希望提供读者们一点探讨一个标準教科书材料的理由。而在本文中继续前文未完结的伏笔,并在最后稍稍讨论有哪些已知的事实是已经超越「兰道典範」。

我们首先複习兰道费米液体的基本概念。在三维空间中,如果一个费米系统具有一个尖锐的费米面与伽利略对称性,兰道说明,在费米面附近的低能量自由度是一堆準粒子(quasi-particle)。假设準粒子间的交互作用是绝热地被打开的,这些由準粒子定义的低能量物理激发态,跟完全没有交互作用的费米气体的能量激发态有一对一的对应关係。

準粒子间的交互作用,在兰道费米液体理论中是由一堆现象学参数(phenomenological parameters)决定。这些参数在今日的教科书中称为兰道参数(Landau parameters)。物理上,他们正比于二个準粒子间的散射振幅。

首先大家可能会困惑,为什幺「準粒子」会是一个深刻的假设,毕竟我们在科普文章中,只要不是真的粒子,常常就会说这是準粒子。事实上,我们需要定量的资讯来决定这些有效的激发态是不是準粒子。

让我们先想像,没有交互作用的系统,也就是费米气体。在这边你有明确的粒子,因为某个粒子带着明确的动量、能量、自旋或其他量子数在时空中旅行时,他基本上不跟任何人沟通,他不会因为碰撞等等过程散失它原来性质。

但,如果粒子间有交互作用,我们可以想像一个微观的粒子,一开始带有某些能量、动量。但因为跟其他粒子间有交互作用,当它在时空中穿梭,同时也会影响其他粒子,并且有机会因为碰撞过程,而失去原本定义它的性质(能量、动量等参数。)如果这个碰撞散射过程发生的时间尺度极短,那幺它就失去了「粒子」的特徵。

也因此,当我们考虑一个陌生的费米子强关联系统,在没有妥善计算的情况下,存不存在準粒子来描述低能量的物理没有一个理所当然的答案—必须根据给定的交互作用,去计算问题中那些费米子的衰变率,如果这个衰变率在费米面附近足够小,我们才能说这个问题中有妥善定义的準粒子。

更定量一点,如果一个费米子激发态的能量相对于费米能量为 \(\omega\),而衰变率为 \(\Gamma\),要具有準粒子的资格,在费米面附近,至少要有

\(\Gamma \sim \omega^2\)

一个激发态的生命週期 τ 约略是衰变率的倒数 ,也因此上面的条件等同于

\(\displaystyle\tau \sim \frac{1}{\omega^2}\)

在费米面上  \(\omega\to 0\),这个激发也因此有无穷大的生命週期,符合「粒子」的性质。如果是在有限的温度下,则热激发可以给予衰变率额外的贡献

\(\Gamma’\sim \omega^2+T^2\)

兰道的典範之一:费米液体(二)

Figure1. 图一描述了一个可能的「衰变过程」。左图是费米液体的一个激发态,显示在费米海外还有一个準粒子,当时间大于他的生命週期时,他可以透过下图这样的碰撞过程跟费米海中另一个粒子碰撞形成一个两个準粒子跟一个準电洞的最终态,因而一开始的状态「衰变」了。(作者自绘)

準粒子的存在,是兰道费米液体的一个关键前提。这在晶格系统中不总是正确的, 一部分的原因是因为晶格系统不一定有足够的对称性。透过这样简单的假设加上以兰道参数表示的交互作用能量,兰道可以预测费米液体的有效质量、比热、电荷响应等等性质—物理量的答案跟自由的费米气体长得很像,只是整体的数值被兰道参数「重整化」。

但要谈到费米液体在当时真的新预测,就不得不提「零声」(zeroth sound)。在一般的液体中,声波是来自于液体的集体振荡。振荡的基本要件是回复力,也就是当一个粒子离开平衡位置的时候,必须要有一个力把它拉回原来的位置,这样才可能产生振荡的现象。在古典的流体中,回复力透过粒子间的碰撞产生,也因此声音是不存在极低温的。然而在费米液体中,即便在低温高频的能量尺度,兰道準粒子间的交互作用也提供了系统中的粒子密度产生回复力的机制,这种在无碰撞极限的声音,称之为零声。

兰道费米液体理论在液态 3He 中获得极大的成功,同时也被作为描述一般金属内电子的理论原型。前者与后者最大的差别在于,液态 3He 是电中性的,而后者是带电的。不可避免我们便得讨论它们的电性,譬如,我们是否能从费米液体理论计算一个材料的电阻值?答案是肯定的。并且可以从中推论,一个费米液体的电阻值应该正比于温度的平方。

儘管获得不小的成功,但费米液体的适用性,很大的依赖于维度、对称与準粒子的存在性。从理论上看,在一维中有强交互作用的费米系统就不是费米液体。在霍尔效应中讨论很多的负荷费米子液体,严格说来它们也都不适用费米液体描述。实验上来看,近年来,人们开始找到一些新的强关联系统,它们的电阻值在某些温度的範围,正比于温度,而不是平方。即便这些发展促进了我们对不同维度强关联系统的了解,但物理学家们却还无法奠定下一个类似费米液体般典範性的框架—简言之,半个世纪后的今天,我们依旧没有完全走出兰道的典範。

兰道的典範之一:费米液体(二)

Figure2. 零声可以被视为费米面的振荡,其中回复力的来源是兰道参数。兰道参数可以被分解为带有不同角动量的频道,不同角动量 n 的振动模式如图中的虚线所示(实线为球状的平衡态费米海)。原则上只要有 n = 0 的兰道参数,便可以激发零声。第一个激发的便是 n = 0 的频道,但从而可以激发其他 n 的振动模式。(作者自绘)


 


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