兰道的典範之一:费米液体(一)

作者: 来源:U悠生活 时间:2020-06-18 19:41:21 浏览(542)

有时候笔者会犹豫要集中心力在介绍理论物理上最新鲜的点子还是花点时间跟大家说明一些已经成文的事实。就学习物理这种基础科学的概念而言,应该要多少着墨后者,以免在学习新知的时候,鸭子听雷事小,道听涂说、以讹传讹就就与科普的原意南辕北辙了。另一方面,就写作的角度,着墨于对笔者本人是很吃力不讨好的,一来并不刺激,二来成文的知识已有很多文献可以阅读,笔者的剖析未必能比任何现有的经典还要深刻—最省力的方法,就是丢给大家一本圣经的名字,让有心人去细究。

然而,笔者同时也当过学生,深深明白—没有人平白没事会去找(原文、抽象、又充满数学的)书看的。

所以在完结霍尔效应相关的故事后,考虑了几週,决定花点时间讲点一些笔者总是不小心就未经解释的使用、比大一物理难一点点,却应该有办法有直觉图像的故事。

今天第一个故事就是费米液体理论(fermi liquid)。

费米液体其实跟费米(E. Fermi)本人八竿子打不着关係,事实上当兰道(L. Landau)在约略 1957 年写出论文的时候,费米已经去世了(1901-1954)。

所以费米液体理论又是兰道的另外一个遗产。事实上,在文献中,人们常常把这个理论跟兰道相变化理论并称为兰道的典範(Landau’s paradigms),或者打趣的说,在兰道在凝态物理内留下的标準模型。

那切确的来说,费米液体理论在讨论什幺事情呢?它主要针对一个费米子系统,然后费米子之间可以有二体的交互作用,基本上就是金属性质最最简化的描述。这看起来是一个大家都在做的问题,但在交互作用的形式上,兰道并没有写下很具体的,譬如核交互作用、库伦交互作用等,他反而是用一堆现象学参数来表示二体交互作用的强度,这些参数在现在的课本中被称为兰道参数( Landau parameters),让我多花几行字说明这些兰道参数的物理意义,让整件事情听起来不那幺抽象。

量子物理学中要研究交互作用,其中一个方法就是计算两个粒子对撞后的散射振幅。一般人採取的方法是先写下一个微观模型,然后透过这个模型去计算散射振幅。兰道参数,基本上从这个概念出发,但採取了一个现象学式的做法—在费米液体理论中用来描述交互作用强度的兰道参数,直接正比于散射振幅。

兰道的典範之一:费米液体(一)

Figure1. 费米液体描述的主要自由度是围绕在费米面附近(红色虚线)的準粒子。图中我们用蓝色实线表示平衡态的费米面,表示所有费米子都依据庖立不相容原理堆积在最低的可能能量。当外界施加一点能量时,只有在费米面附近的费米子可以被激发。

那这样的表述有什幺特别之处,让这个理论在众多类似的描述中脱颖而出呢?

在揭晓兰道的观点以前,我们可以先听听一个有趣的事实。在进行费米液体的计算之前,人们其实先进行了(简併)费米气体的计算,所谓「费米气体」的模型,亦即一堆自由费米子,任两个粒子间没有交互作用。这个问题的计算难度并不高,除了在绝对零度的性质,赫赫有名的 Sommerfeld 开发了一个系统性的展开式(教科书中称为 Sommerfeld expansion)帮助我们计算费米气体在低温的热力学性质。

然而,没有交互作用的假设终究是不那幺实际的。在熟稔费米气体的问题后,人们很快地便尝试把库伦交互作用放到模型中,使用微扰的方法来计算库伦作用对电子气体的修正。

有趣的结果是,如果我们就按照大学部量子力学课本教的方法直肠子地进行计算,考虑交互作用的模型的计算结果,比完全没有交互作用的玩具模型,跟真实实验相差更多。

意思是,你把实验结果拿去跟 (i) 完全没有交互作用的电子气体 (ii) 未重整化的库伦气体两者计算结果比较,电子们间还比较像没有交互作用。这个结果其实可以有比较直观的理解方法,从大一普通物理我们知道,若你把一个电荷放到介电质中,周围的电荷们倾向重新分布去屏蔽这个外来电荷。在成群的带电的费米子中也是一样的,因此,费米子间看到的库伦交互作用其实比原来「裸露」的库伦作用弱得多。

回到费米液体的思路上,兰道透过他的敏锐的物理洞见,指出在低能量尺度、低温的极限中,根据动量、能量守恆与庖力不相容等基本原则,具有伽利略对称性的费米液体的低能量自由度是一堆定义在费米面(Fermi surface)上的準粒子(quasi-particles),他并指出,每一个準粒子的物理态跟原本简併费米气体中的物理态是绝热(adiabatically)对应的。

用最简单的话讲,费米液体理论之所以会简单,是因为它几乎跟费米气体一样是个没交互作用的理论(free theory)只不过在费米气体中的主角是一堆真的费米子,但在液体中是一堆被重整化的「準粒子」。

在下文中,笔者将探讨:
1. 为什幺「準粒子」是个不单纯而重要的概念。
2. 兰道费米液体这个理论能给我们什幺预测以及他在哪里获得成功,那到了二十一世纪有什幺金属的物理是超越兰道费米液体的描述範围。

兰道的典範之一:费米液体(一)

Figure2. 一个典型的二体交互作用示意图。在费米液体的描述中,交互作用的强度直接以正比于散射振幅的量:兰道参数来表示。


 


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